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曲线的法线方程怎么求（圆锥曲线的切线方程和原点到切线的法向距离公式）

100次浏览     发布时间：2024-08-26 10:31:11    

本文讨论圆锥曲线的切线方程和原点到切线的法向距离公式。

如果任意一条曲线为y=f(x), 那么在（x1, y1）点的切线为：

也可写成： （y-y1）=y1’(x-x1), （1）

y1’是点（x1, y1）处切线的斜率，这是由导数的几何意义决定的。

从原点做切线的直线，那么原点到切线的距离可以由法线和切线的交点坐标求出，法线的斜率与切线的斜率称负倒数。

法线的方程为：y=-x/y1’ （2）

将（1）和（2）联立得出切线和法线的交点Q（x0, y0）：



带入两点之间的距离公式得到原点到切线的距离公式：

若曲线是半径为r，圆心是原点的圆，带入上式，显然p=r 。

对于圆锥曲线，过一点P（x1, y1）的切线方程如下：

上述切线方程的证明，需要先求出切线的斜率，而这需要求出圆锥曲线在（x1, y1）的导数，高中知识可以求，但若通过偏导数来求更方便，读者自己证明。

有了切线方程，法线方程就可以通过斜率互为负倒数求出。
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